Спадило.ру

Формула для силы притяжения тел произвольной формы

В двух телах произвольной формы и размера выделим элементарные массы, которые можно считать материальными точками, причем:

где $\rho_1, \rho_2$ – плотности вещества материальных точек первого и второго тел,
dV₁ ,dV₂ — элементарные объемы выделенных материальных точек. В таком случае, сила притяжения
($d \bar{F}_12$), с которой элемент dm₂ действует
на элемент dm₁, равна:

Следовательно, сила притяжения первого тела вторым может быть найдена по формуле:

где интегрирование необходимо произвести по всему объему первого (V₁) и второго (V₂) тел.
Если тела являются однородными, то выражение можно немного преобразовать и получить:

В чём измеряется гравитационная постоянная

Несмотря на то, что гравитационная постоянная численно равна силе, её единицы измерения не ньютоны. Размерность коэффициента может показаться страшной –

Согласно Международной системе единиц (системе интернациональной или СИ), сила измеряется в ньютонах, причём

то есть 1 ньютон – сила, изменяющая скорость килограммового объекта на 1 м/с за одну секунду.

После открытия закона тяготения определено: пара килограммовых тел притягивается друг к другу силой со значением, зависящим обратно пропорционально от квадрата расстояния между объектами.

То есть единица измерения гравитационной силы –

и размерность не совпадает с привычной

Проведём математические вычисления самостоятельно.

Нужно уравнять

Для этого

2 3

Получилась требуемая размерность.

Следовательно, постоянная имеет размерность

Современная история изменений гравитационной постоянной

Гравитационная постоянная – десятичная дробь, её значение постоянно уточняется, причём измерение коэффициента G происходит путём усовершенствования прибора Митчела и улучшения методов наблюдения. Например, в 2018 году учёные из России и Китая проводили опыты на установках разной конструкции. В первой группе применялся метод «time of swing» (TOS), где коэффициент пропорциональности зависит от колебательной частоты весов. Во второй – метод «angular acceleration feedback» (AAF), где угловое ускорение независимо вращающихся коромысел шаров измеряется системой управления с обратной связью, при этом нить поддерживается незакрученной.

По результатам команды первый метод продемонстрировал значение гравитационной постоянной

-6

Комитет по данным для науки и техники (CODATA) рекомендовал на 2020 год значение коэффициента пропорциональности, равное:

Таким образом, гравитационная постоянная всё время уточняется, требуя новые, более точные способы измерения и вычисления.

Значение притяжения

Значение гравитации основополагающее для существования материальных тел без неё улетела бы атмосфера и гидросфера Земли.

Без неё не мог бы гореть огонь, так как горячий воздух не поднимался бы вверх от Земли, т.е. в противоположном тяготению направлении

Вместо горячего, поднимающегося вверх воздуха, в огонь проникает тяжелый холодный воздух, и что особенно важно, насыщенный кислородом, так что горение (окисление) может продолжаться.
Когда каменщики строят дом то пользуются отвесом. Веревка, на конце которой прикреплен груз, точно указывает направление, потому что благодаря ей все тела на Земле обладают тяжестью.
Эта сила удерживает нас на поверхности Земли, иначе мы улетели бы в космическое пространство, а не стояли бы перпендикулярно к ядру Земли.
Каждая клетка тела  соединяется с другой с помощью слабых сил, а в общем мы притягиваемся к Земле.
Значение гравитации в движении воздуха на Земле

Когда воздух нагревается и поднимается вверх, его место занимает холодный тяжелый воздух. Так возникает ветер.
В поднимающемся воздухе водяные пары конденсируются в капельки и образуют облака. Капельки растут и наконец падают на Землю в виде дождя. Между дождевой каплей и Землей действует сила притяжения.
Природа давно научила растения расти вертикально под влиянием силы земного тяготения. Это свойство растений называется геотропизм.

Человека природа наделила органом, находящимся во внутреннем ухе (улитка), в виде маленьких кристалликов, который помогает нам ходить и стоять вертикально, по направлению силы тяготения.

Разница гравитации и притяжения

Для точности заметим, что между земной гравитацией и земным притяжением существует небольшое различие.

Если бы наша Земля не вращалась, то направления земной гравитации и земного тяготения абсолютно совпадали бы. Но в результате вращения Земли возникает центробежная сила, которая несколько отклоняет направление гравитации. Мы не осознаем это несущественное отклонение.

Гравитационное притяжение

Закон всемирного тяготения

В рамках классической механики гравитационное притяжение описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m1{\displaystyle m_{1}} и m2{\displaystyle m_{2}}, разделёнными расстоянием r{\displaystyle r}, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния — то есть:

Здесь G{\displaystyle G} — гравитационная постоянная, равная примерно 6,67×10−11 м³/(кг·с²).
Этот закон выполняется в приближении при малых по сравнению со скоростью света v≪c{\displaystyle v\ll c} скоростей и слабого гравитационного взаимодействия (если для изучаемого объекта, расположенного на расстоянии R{\displaystyle R} от тела массой M{\displaystyle M}, величина GMc2R≪1{\displaystyle {\frac {GM}{c^{2}R}}\ll 1}). В общем случае гравитация описывается общей теорией относительности Эйнштейна.

Закон всемирного тяготения — одно из приложений закона обратных квадратов, встречающегося также и при изучении излучений (см., например, Давление света), и являющегося прямым следствием квадратичного увеличения площади сферы при увеличении радиуса, что приводит к квадратичному же уменьшению вклада любой единичной площади в площадь всей сферы.

Гравитационное поле, так же как и поле силы тяжести, потенциально. Это значит, что можно ввести потенциальную энергию гравитационного притяжения пары тел, и эта энергия не изменится после перемещения тел по замкнутому контуру. Потенциальность гравитационного поля влечёт за собой закон сохранения суммы кинетической и потенциальной энергии и при изучении движения тел в гравитационном поле часто существенно упрощает решение.
В рамках ньютоновской механики гравитационное взаимодействие является дальнодействующим. Это означает, что, как бы массивное тело ни двигалось, в любой точке пространства гравитационный потенциал зависит только от положения тела в данный момент времени.

Большие космические объекты — планеты, звёзды и галактики имеют огромную массу и, следовательно, создают значительные гравитационные поля.

Гравитация — слабейшее взаимодействие. Однако, поскольку оно действует на любых расстояниях и все массы положительны, это, тем не менее, очень важная сила во Вселенной. В частности, электромагнитное взаимодействие между телами в космических масштабах мало, поскольку полный электрический заряд этих тел равен нулю (вещество в целом электрически нейтрально).

Также гравитация, в отличие от других взаимодействий, универсальна в действии на всю материю и энергию. Не обнаружены объекты, у которых вообще отсутствовало бы гравитационное взаимодействие.

Из-за глобального характера гравитация ответственна и за такие крупномасштабные эффекты, как структура галактик, чёрные дыры и расширение Вселенной, и за элементарные астрономические явления — орбиты планет, и за простое притяжение к поверхности Земли и падения тел.

Гравитация была первым взаимодействием, описанным математической теорией. Аристотель (IV в. до н. э.) считал, что объекты с разной массой падают с разной скоростью. И только много позже (1589) Галилео Галилей экспериментально определил, что это не так — если сопротивление воздуха устраняется, все тела ускоряются одинаково. Закон всеобщего тяготения Исаака Ньютона (1687) хорошо описывал общее поведение гравитации. В 1915 году Альберт Эйнштейн создал Общую теорию относительности, более точно описывающую гравитацию в терминах геометрии пространства-времени.

Летающий «Искандер»

«Кинжал» – по сути симбиоз МиГ-31 и ракеты сухопутного ОТРК «Искандер». Идея такого комплекса зародилась лет 15 назад. Х-47М2 представляет собой несколько модернизированную 9М723 «Искандера». Отличия от «первоисточника» состоят в основном в аэродинамической заглушке в кормовой части, прикрывающей сопла двигателей, а также несколько измененной форме аэродинамических рулей. Заглушка предназначена для аэродинамического «облагораживания» всего комплекса самолет-ракета, позволяющего достигать высоких сверхзвуковых скоростей при наличии висящего под фюзеляжем большого по размерам корпуса. В остальном Х-47М2 полностью идентична прототипу. Для размещения под фюзеляжем МиГ-31, судя по видеокадрам, задействованы все 4 узла подвески ракет Р-33.

Как и 9М723 «Искандера», Х-47М2 аэробаллистическая. Стартует с самолета, судя по открытым данным, на высотах более 12 000 метров при скорости носителя до 2000–2500 километров в час. При этом аэродинамическая заглушка, как хорошо видно на видеороликах, отделяется сразу. Далее включается основной двигатель и ракета уходит в набор высоты. Высшая точка траектории «Кинжала», как следует из сопоставления с известными характеристиками траектории 9М723, может достигать нескольких десятков километров. При сверхзвуковой скорости носителя пуск на большой высоте, без необходимости преодоления на начальном участке плотных слоев атмосферы, обеспечивает дальность стрельбы в 2000 километров ракетой, которая при наземном старте пролетела бы менее 500 километров. Скорость 10 М соответствует 12 200 километров в час.

Ракета 9М723 оснащается оптоэлектронной или радиолокационной ГСН. Оптоэлектронная корреляционная ГСН позволяет поражать наземные неподвижные объекты с точностью попадания, измеряемой величиной среднеквадратического отклонения около 20 метров. Для сравнения: у американского ATACMS этот показатель равен примерно 100 метрам. Радиолокационная ГСН, судя по открытым данным, должна обеспечивать поражение движущихся целей, в том числе надводных кораблей. При этом надо отметить, что работа ГСН, действующих по наземным целям и по морским, существенно отличаются в силу принципиальной разницы целей на фоне земли и водной поверхности. Как минимум это предполагает два режима работы ГСН. Как максимум – должны быть две различные ГСН.

Корабельные соединения – высокоманевренные и весьма скоростные цели. Корабельное соединение, следующее со скоростью 20–22 узла (40–42 километра в час), как правило, осуществляет тактические и оперативный зигзаг. Тактический предполагает отклонение от генерального курса на 15–20 градусов (а может, и больше) каждые 10–20 минут. Оперативный зигзаг предполагает периодическое (раз в 2–3 часа) изменение текущего генерального курса на те же 15–20 градусов от основного направления движения. Само корабельное соединение -– подвижный район мощной всесторонней обороны, длительное нахождение сил и средств противника в котором невозможно. Поэтому существующие средства наблюдения за корабельными соединениями позволяют получать данные об их месте и элементах движения с определенной периодичностью, причем порой с весьма значительными интервалами – до часа и более. А это означает, что ошибки в выдаче целеуказания могут быть весьма значительными – вплоть до нескольких миль. По этой причине ГСН противокорабельных ракет имеют значительную дальность обнаружения надводных целей. Судя по тому, что исходно ракета «Искандера» создавалась для поражения неподвижных наземных целей, она создавалась для «выборки» ошибок в пределах нескольких сотен метром. Оснащение ракеты «Кинжал» РГСН позволяет сделать ее всепогодной (оптоэлектронная плохо работает при облачности и задымлении) и может существенно компенсировать ошибку в определении местоположения. Однако вряд ли сразу на два порядка, чтобы добиться возможности поражения целей, положение которых известно с погрешностью в несколько миль. А это резко ужесточает требования ко времени устаревания данных целеуказания и их точности. По этой причине, судя по данным в открытых СМИ, в настоящее время отрабатывается применение ракетного комплекса «Кинжал» на основе МиГ-31 совместно с Ту-22М3, основным самолетом ранее существовавшей морской ракетоносной авиации. Назначение последних при совместных действиях с МиГ-31, вооруженных Х-47М2, может быть одно: выдача целеуказания с минимальным временем устаревания. Возможность сверхзвукового полета Ту-22М3 на этапе сближения с объектом атаки и на отходе после выдачи целеуказания при наличии мощной бортовой РЛС позволяет обеспечить высокую боевую устойчивость. Даже американская авианосная группа способна воспрепятствовать таким нашим самолетам только силами воздушного патруля, выдвинутого на угрожаемое направление – 2–4 самолета F/А-18. Эта угроза нейтрализуется одним-двумя звеньями истребителей прикрытия Су-27 или более совершенных. Таким образом, целеуказание с точностью в несколько сотен метров комплексу «Кинжал» вполне обеспечено.

Что касается возможностей преодоления ПВО и ПРО, как наземной, так и морской, здесь можно вспомнить все доводы, которые приводились применительно к «Циркону», когда было показано, почему системы противовоздушной обороны корабельных соединений США не эффективны. «Кинжал» еще более скоростная ракета. Кроме того, ее траектория, предполагающая пикирование на цель под углом более 70 градусов, лежит в «мертвой воронке» почти всех современных ЗРК. А до перехода в пикирование большая часть полета «Кинжала» проходит за пределами верхней границы поражения современных ЗРК. То есть ракета еще менее уязвима, чем «Циркон». Иными словами, огневых средств противодействия этому комплексу вероятный противник просто не имеет. Таким образом, можно грубо оценить, что эскадрилья МиГ-31 с Х-47М2 при надлежащем обеспечении целеуказанием может с достойной вероятностью вывести из строя или даже потопить авианосец и 2–3 корабля охранения из состава АУГ США. Поэтому оценки эксперта Алексея Леонкова о потребном количестве таких самолетов в 100 единиц (по его мнению, вполне достаточно иметь по 10 МиГ-31 с Х-47М2 на закрытых наших МТВД и по 30–40 – на океанских) вполне корректны.

Ограничения

Описание гравитации Ньютоном достаточно точное для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы, когда безразмерные величины и обе намного меньше единицы, где — гравитационный потенциал , — скорость исследуемых объектов и — скорость света в вакууме. Например, ньютоновская гравитация дает точное описание системы Земля / Солнце, поскольку
ϕ c 2 {\ displaystyle \ phi / c ^ {2}} ( v c ) 2 {\ displaystyle (v / c) ^ {2}} ϕ {\ displaystyle \ phi} v {\ displaystyle v} c {\ displaystyle c}

ϕ c 2 знак равно грамм M s ты п р о р б я т c 2 ∼ 10 — 8 , ( v E а р т час c ) 2 знак равно ( 2 π р о р б я т ( 1   y р ) c ) 2 ∼ 10 — 8 {\ displaystyle {\ frac {\ phi} {c ^ {2}}} = {\ frac {GM _ {\ mathrm {sun}}} {r _ {\ mathrm {orbit}} c ^ {2}}} \ sim 10 ^ {- 8}, \ quad \ left ({\ frac {v _ {\ mathrm {Earth}}} {c}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {2 \ pi r _ {\ mathrm {орбита}}} {(1 \ \ mathrm {yr}) c}} \ right) ^ {2} \ sim 10 ^ {- 8}}

где — радиус орбиты Земли вокруг Солнца.
р орбита {\ displaystyle r _ {\ text {орбита}}}

В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик,
для описания системы необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон тяготения Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

• Теория Ньютона не полностью объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, которая была обнаружена намного позже жизни Ньютона. Существует расхождение в 43 угловых секунды за столетие между расчетом Ньютона, которое возникает только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессии, сделанной с помощью современных телескопов в 19 веке.
• Прогнозируемое угловое отклонение световых лучей под действием силы тяжести (рассматриваемое как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с помощью теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. Расчеты с использованием общей теории относительности намного лучше согласуются с астрономическими наблюдениями.
• В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, сильно противоречит закону всемирного тяготения Ньютона и общей теории относительности. Однако астрофизики объясняют это заметное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Первые два конфликта с наблюдениями выше были объяснены общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не вызвана силой, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время в непосредственной близости от них, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движение света и массы, которое согласуется со всеми доступными наблюдениями. В ОТО сила гравитации является фиктивной силой , в результате кривизны пространства — времени , так как гравитационное ускорение тела в свободном падении происходит из — за его мировая линию будучи геодезической из пространства — времени .

Дымный порох в истории и культуре

Экспериментальный взрыв дымного пороха в количестве, равном тому, что предполагалось использовать при пороховом заговоре

Во всех без исключения произведениях, написанных до появления бездымных порохов, в случае, если речь идёт о порохе, имеется в виду дымный порох. При описаниях сражений часто указывается на плотные облака дыма, застилавшие поле боя. Некоторые авторы классических произведений придавали описанию пороха особое значение. Так, Жюль Верн в романе «С Земли на Луну прямым путём за 97 часов 20 минут» (1865 год) уделил дискуссии о порохе заметное место:

Дымный порох обладает резким солоноватым вкусом, благодаря чему его иногда использовали вместо соли. Это отмечено в романе Л. Н. Толстого «Война и мир».

Однако известно, что употребление пороха в пищу нередко вызывало отравления. Существует мнение, что предубеждение европейских народов в отношении поедания конины связано с тем, что солдаты наполеоновской армии при отступлении из Москвы посыпали порохом вместо соли мясо павших лошадей. Это приводило к частым случаям интоксикации.

Интересен способ употребления пороха, рекомендованный главным героем повести Н. В. Гоголя «Тарас Бульба». Тарас советовал, в случае лёгкого ранения, во избежание лихорадки «размешать заряд пороху в чарке сивухи» и выпить.

В мировую историю вошло немало случаев, когда детонация дымного пороха (или её попытка) оказывала важное воздействие на общественную жизнь. Хорошо известен знаменитый пороховой заговор 1605 года в Лондоне, когда заговорщики неудачно попытались уничтожить британский Парламент вместе с королём Яковом I, заложив под Вестминстерский дворец 80 бочонков чёрного пороха.

Формула силы притяжения

Со времен Древней Греции философов интересовали явления притяжения тел к земле и свободного падения. К примеру, по утверждениям Аристотеля, из двух камней, брошенных с одинаковой высоты, быстрее достигнет земной поверхности тот, чья масса больше. В IV веке до нашей эры единственными методами научных изысканий служили наблюдения и анализ. К проверке гипотез опытным путем великие мыслители не прибегали. По истечению столетий физик из Италии Галилео Галилей проверил утверждения Аристотеля, используя практические методы исследований.

Итоги проведенных Галилеем опытов были опубликованы в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». Ученый использовал псевдоним Сагредо: «пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей». Формулировка закона всемирного тяготения была представлена в 1666 году Исааком Ньютоном. В ней фиксировались основные тезисы теоремы Галилея.

Смысл заключался в том, что тела, которые обладают разными массами, падают на землю с одинаковыми ускорениями. Одно тело притягивает другое и, наоборот, с силой, которая прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна отрезку пути между ними. Согласно определению гравитации от Ньютона, тела, характеризующиеся массой, обладают свойством, благодаря которому притягиваются друг к другу.

Понятие и определение

Силы взаимного притяжения – это силы, которые притягивают любые тела, обладающие массами.

Корректность выводов Ньютона неоднократно подтверждалась путем практических испытаний. Но в начале ХХ века перед учеными-физиками остро стоял вопрос о природе и характере взаимодействия крупных астрономических тел, включая разные виды планетарных систем и галактик в вакууме. Ньютоновского закона уже было недостаточно, чтобы решить эти задачи. Исключить недочеты позволила новая теория, разработанная Альбертом Эйнштейном в начале ХХ столетия. Общая теория относительности объясняет гравитацию не в качестве силы, а представляет ее в виде искривления пространства и времени в четырех измерениях, которое зависит от массы тел, создающих его.

Гравитация представляет собой свойство тел, которые характеризуются массой, притягивать друг друга. Данное физическое явление можно объяснить, как поле, оказывающее дистанционное воздействие на предметы, не связанные между собой никаким другим способом.

Достижение Эйнштейна не противоречит теоретическому объяснению гравитации от Ньютона. Общая теория относительности рассматривает закон всемирного тяготения, как частный случай, применимый для сравнительно небольших расстояний. Данная закономерность в настоящее время также активно используется для поиска решений задач на практике.